Một không gian phủ là một không gian phủ phổ dụng nếu nó liên thông đơn (i.e. nếu nó liên thông và nhóm cơ bản của nó là nhóm tầm thường). Tên phổ dụng xuất phát từ thuộc tính quan trọng sau: nếu ánh xạ q: D → X là phủ phổ dụng của không gian X và ánh xạ p: C → X là bất kỳ phủ nào của không gian X với C liên thông, thì tồn tại một phủ f: D → C sao cho p ∘ f = q. Tức là

Phủ phổ dụng phủ mọi phủ liên thông.

Thuộc tính nâng

Định lý - Đặt p : C → X {\displaystyle p:C\to X} là một phủ. Giả sử Y {\displaystyle Y} là một không gian liên thông và f : Y → X {\displaystyle f:Y\to X} là một ánh xạ liên tục. Với mọi nâng g , h : Y → C {\displaystyle g,h:Y\to C} của ánh xạ f {\displaystyle f} (i.e. p ∘ g = p ∘ h = f {\displaystyle p\circ g=p\circ h=f} ), ta có g = h {\displaystyle g=h} hoặc g ( y ) ≠ h ( y ) {\displaystyle g(y)\neq h(y)} với mọi y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} [3]

Nói riêng, nếu ta cố định một nghịch ảnh e {\displaystyle e} và một phần tử y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} sao cho p ( e ) = f ( y ) {\displaystyle p(e)=f(y)} , có nhiều nhất là một nâng thỏa mãn e = g ( y ) {\displaystyle e=g(y)} .[4] Không phải lúc nào nâng cũng tồn tại: một ví dụ là ta không thể nâng ánh xạ đồng nhất i d : S 1 → S 1 {\displaystyle \mathrm {id} :\mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}} qua phủ R → S 1 {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}} . Tuy nhiên trong trường hợp Y = [ 0 , 1 ] {\displaystyle Y=[0,1]} là một đoạn, nâng tồn tại và là duy nhất.[5]

Định lý Galois